参数曲线 parametric curves

参数曲线就是由一个参数方程给出的曲线。对于参数曲线,我们通常可以由描点法或者化成直角坐标下的函数来描绘它的图形。

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1,参数曲线(parametric curve):如果一条曲线在任何一点的坐标 (x,y) 由方程组

{x=ϕ(t)y=ψ(t)αtβ 给出,我们称这样的曲线为参数曲线。

2,参数曲线的图形:我们有两种方法来画参数曲线的图形,第一种是用描点(plot points)的方法,就是将 t 的不同的值代入方程里去,然后找出 x,y 的值,在平面上画出这些点,然后将它们连成光滑曲线;第二种是将参数曲线方程化成直角坐标下的函数或者方程,然后利用直角坐标下的方程来画图。

例1,参数曲线由方程

{x=t3sinty=43cost0t10描绘曲线的图形。

解:用描点法画函数的图形,函数值如下表:

txy00111.52.420.75.232.67.01011.66.5

根据这些点的坐标,我们可以画出函数的图形

第二种方法是将参数方程化成直角方程。

例2,曲线由参数方程

{x=2cos(t)y=2sin(t)0t2π

画出曲线的图形。

解:我们有 x2+y2=(2cos(t))2+(2sin(t))2=4cos2(t)+4sin2(t)=4

也就是说,曲线的直角坐标方程为 x2+y2=4,这是一个圆心在原点,半径为 2 的圆。