由参数方程所确定的函数的导数与通常函数的导数不同，因为自变量与因变量之间的关系是通过一个参数而联系在一起的。这里我们讲解了如何求参数方程所确定的函数的导数。

笔记下载：由参数方程确定的函数的导数 derivatives of functions defined by parametric equations

假如函数 \(y=f(x)\) 由参数方程

\[\begin{cases}x=\phi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases} \quad \alpha\le t\le \beta,\]给出，我们如何求导数 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}\)？

我们有如下的结论：

若 \(\phi(t),\psi(t)\) 在区间 \([\alpha,\beta]\) 上可微， \(\phi'(t)\ne 0\)，则\[\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\]

这个结论可以用代数方式直观（不严格）地证明：

\[\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\]

也可以用导数的定义来证明：

\[\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\frac{\Delta y}{\Delta t}}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}=\frac{\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta t}}{\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\]

这里因为 \(x=\phi(t)\) 是可微的，所以也是连续的，当 \(\Delta x\to 0\) 时， \(\Delta t\to 0\)。

我们来看两个例题。

例1，设 \(y=f(x)\) 由参数方程 \[\begin{cases}x=a\cos t,\\ y=a\sin t\end{cases}\quad 0\le t \le2\pi,\] 求 \(\frac{dy}{dx}\)。

解：由参数方程的求导公式， 我们有

\[\frac{dy}{dx}=\frac{(a\sin t)’}{(a\cos t)’}=\frac{a\cos t}{-a\sin t}=-\cot t\]

例2，设曲线由参数方程 \[\begin{cases}x=t-t^2,\\ y=t-t^3,\end{cases}\] 求 \(\frac{dy}{dx}\)。

解：由参数方程的求导公式

\[\frac{dy}{dx}=\frac{(t-t^3)’}{(t-t^2)’}=\frac{1-3t^2}{1-2t}\]

例3，设曲线由参数方程 \[\begin{cases}x=\sec t,\\ y=\tan t,\end{cases}\quad -\frac{\pi}{2}\le t\le\frac{\pi}{2},\]求曲线在 \((\sqrt{2},1)\) 处的切线方程。

解：由参数方程的求导公式

\[\frac{dy}{dx}=\frac{(\tan t)’}{(\sec t)’}=\frac{\sec^2t}{\sec t\cdot \tan t}=\frac{\sec t}{\tan t}=\frac{1}{\cos t}\cdot\frac{\cos t}{\sin t}=frac{1}{\sin t}=\csc t\]

当 \(x=\sqrt{2},y=1\) 时，\(t=\frac{\pi}{4}\)，所以 \(\frac{dy}{dx}\Big|_{\frac{\pi}{4}}=\csc\frac{\pi}{4}=\sqrt(2)\)。所以曲线在\((\sqrt{2},1)\) 处的切线方程为

\[y-1=\sqrt{2}(x-\sqrt{2})\]