如果 \(\mathbb{R}^n\) 上的一个变换是线性的，那么它一定可以用一个矩阵的来表示，这个矩阵就是线性变换的标准矩阵（standard matrix）。而且这个矩阵的表达式为\[A=[T(\vec{e}_1),\cdots, T(\vec{e}_n)]\]这里 \( \vec{e}_1,\cdots, \vec{e}_n) \) 为 \(\mathbb{R}^n\) 上的标准正交基。

笔记下载：线性变换的矩阵表示 matrix of linear transformation

由这个矩阵的表达式我们知道，要想求出一个线性变换的矩阵，我们只需要求出标准正交基的变换式（它们的像）就可以了。如果我们能直接求出各个基向量的像，我们就直接求，如果有困难，我们就要采用其它的一些方法来求出这些像。视频里给出了几个求矩阵的例子。