我们列举了一些常见二次曲面及它们的图形。这些曲面包括球面，椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面，双曲抛物面等等。

笔记下载：常见二次曲面

1，二次曲面的画法：我们画二次曲面的图形时，一般采用“截痕法”或者所谓的“水平集”方法。类似于地图所用的“等高线”。给定一个二次曲面的方程，我们用 $z=$常数代入方程，得到一系列的曲线，同样可以用 我们用 $x=$常数和$y=$常数代入方程，得到一系列的曲线，把这些曲线连起来，差不多就是曲面的大致图形。

例如：曲面 $z=x^2+2y^2$，我们用 $z=0,z=1,z=2,z=3,z=4$ 等值代入方程，就得到了点 $(0,0,0)$，椭圆 $x^2+2y^2=1$，$x^2+2y^2=2$，$x^2+2y^2=3$，$x^2+2y^2=4$，随着 $z$ 的增大，这一系列椭圆线在变大，这一系列椭圆线在三维空间中不同的高度，把这些曲线连起来就是椭圆抛物面。

下面是一些常见的二次曲面的方程与图形。我们可以清晰地看到这些图形的截痕。

2，球面：球面的标准方程为$x^2+y^2+z^2=a^2$，圆心在原点；一般方程为 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=a^2$，圆心在点 $(x_0,y_0,z_0)$。为了完整起见，我们也给出它的图形：

3，椭球面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1}$，它在三个坐标轴的半轴长分别为 $a,b,c$。它的图形为

4，单叶双曲面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1}$；

5，双叶双曲面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1}$；

6，椭圆锥面：${\displaystyle z^2=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}$；

7，椭圆抛物面：${\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}$；

8，双曲抛物面，或者马鞍面：${\displaystyle z=\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{z^2}}$；

9，一般的二次曲面：对于一般的二次曲面，我们可以通过配方法或者其它方法化成标准的二次曲面的形式。