我们利用函数的导数来求函数在某一点处的近似值。这种近似叫做线性近似。

笔记下载：函数的近似值 linear approximation

首先我们看看这样几个问题：$\sqrt{24},\sqrt[3]{9},\tan {44}^{\circ }$ 的值大概是多少？

这是一个求近似值的问题，我们知道 $\sqrt{24}$ 是个无理数，我们一不知道它的准确值。

1，函数的近似值：函数在一点处的近似值可以用导数来确定。事实上，当 $|\mathrm{\Delta }x|$ 很小的时候，我们有$$f(a+\mathrm{\Delta }x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)\mathrm{\Delta }x$$这一点可以从导数的定义得到

因为 $f^{\prime }(a)$ 是 $x=a$ 这一点切线的斜率，那么 $f^{\prime }(a)\mathrm{\Delta }x$ 就是切线从 $x=a$ 到 $x=a+\mathrm{\Delta }x$ 部分的增量，它与函数的增量 $f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)$ 之间非常接近。$\mathrm{\Delta }x$ 越小，它的近似程度越高。

我们记 $$L(a)=f(a)+f^{\prime }(a)\mathrm{\Delta }x,\text{或者}L(x)=f(x)+f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x$$ 它们称为函数的线性近似函数。也就是说 $$f(x+\mathrm{\Delta }x)\approx L(x)$$

现在我们利用线性近似函数来求函数的近似值。

例1：求 $\sqrt{24}$ 的近似值。

解：我们令 $f(x)=\sqrt{x}$，则我们可以取 $a=25$，那么 $\mathrm{\Delta }x=-1$。$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，$f^{\prime }(25)=\frac{1}{10}=0.1,f(25)=5$。所以

$$f(24)\approx f(25)+f^{\prime }(25)\mathrm{\Delta }x=5+\frac{1}{10}\cdot (-1)=4.9$$

也就是说， $\sqrt{24}\approx 4.9$。我们可以用计算器验算一下它的真实值：4.898979… ,可以看到它们之间的误差非常小。

例2：求 $\tan {44}^{\circ }$ 的近似值。

解：我们可以设 $f(x)=\tan x$， $a={45}^{\circ }=\frac{\pi }{4},\mathrm{\Delta }=-1^{\circ }=-\frac{\pi }{180}$。我们知道 $f(\frac{\pi }{4})=\tan \frac{\pi }{4}=1$，$f^{\prime }(x)={\sec }^{2}x$，$f^{\prime }(\frac{\pi }{4})={\sec }^2\frac{\pi }{4}=2$，所以$$\tan {44}^{\circ }\approx \tan \frac{\pi }{4}+{\sec }^2\frac{\pi }{4}(-\frac{\pi }{180})=1-\frac{2\pi }{180}=1-\frac{\pi }{90}$$