怎么找矩阵的 Column space 和 Null Space (列空间和零空间)

Column space 和 Null space,听起来很难的样子,其实求它们并不算很难的一件事。在做完初等行变换(Row reduction),把矩阵变成行阶梯形(Row reduced form)后,Column space 的 basis 就很容易得到了,而求零空间,其实就是求齐次方程的解空间。我们来具体讲一下怎么求这两个空间。

因为向量空间(Vector space)完全可以由其基表示,所以只要求出它的基就可以。现在我们讲一讲怎么求列空间的基。只需要两步就可以。
第一步:将矩阵化成行阶梯形(REF)
第二步:找出每一个非零行,第一个非零元(pivot number)所在的列,对应的原矩阵里的列,就是列空间的基( Column space 的 basis)。

我们来看一个例子:设A 为如下的矩阵
(14837127342295536952)

通过初等行变换,它可以变成

(14805025010001400000)

现在已经变成了行阶梯形矩阵了。我们只需要找到每个非零行的首个非零元就知道列空间的基了。第一、二、三行都是非零行,它们的首个非零元在第一、二、四列,所以,列空间的基是原矩阵里的第一、二、四列,也就是说,ColA 的基由下列三个向量组成:

(1123),(4226),(3355)

或者说 ColA=span((1123),(4226),(3355))

现在我们转到怎么找零空间。由零空间的定义,NullA={x|Ax=0},所以,找零空间就是解方程组 Ax=0} 。我们仍然以上面的 A 为例。我们先将它化成行最简形(RREF)
(14805025010001400000)(1020301520120001400000)

它的解是
x=C1(252100)+C2(312041)

所以零空间是
NullA=span((252100),(312041))


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